Lista 1A - Exercícios, resoluções e discussões.

                            

1.)  Mostre qual é o maior e o menor número flutuante que seu computador trabalha, realmax e realmin no MatLab. Mostre qual é o epsilon de sua máquina, eps no MatLab. O que quer dizer cada um destes valores?

Software: Octave

>> realmax

ans =   1.7977e+308

>> realmin

ans =   2.2251e-308

>> eps

ans =   2.2204e-16

Conceitos: aritmética de ponto flutuante

“Um computador ou calculadora representa um número real no sistema denominado aritmética de ponto flutuante. Nesse sistema, o número r será representado na forma:

± (d1d2...dt ) x β^t

onde:

β é a base em que a máquina opera;

t é o número de dígitos da mantissa; 0  ≤  dj ≤ (β – 1), j = 1, ..., t, d1 ≠  0;

e é o expoente n intervalo [1, u].

[...]

Em qualquer máquina, apenas um subconjunto de números reais é representado exatamente, e, portanto, a representação de um número real será realizada através de truncamento ou arredondamento.

Algumas linguagens de programação permitem que variáveis sejam declaradas em precisão dupla. Nesse caso, essa variável será representada no sistema de aritmética de ponto flutuante da máquina, mas com aproximadamente o dobro de dígitos disponíveis na mantissa. É importante observar que, nesse caso tempo de execução e requerimentos de memória aumentam de forma significativa.”

Fonte: RUGGIERO, M. A. G. e LOPES, V. L. .R. CÁLCULO NUMÉRICO: Aspectos teóricos e computacionais; 2ª edição. Cap. 1, p. 10 e 11.

Dentro dos conceitos descritos, temos que os comandos a seguir fornecem os parâmetros solicitados no exercício:

• realmax retorna o maior número de ponto flutuante finito em precisão dupla IEEE;
• realmin retorna o menor número de ponto flutuante positivo normalizado em precisão dupla IEEE;
• eps: retorna o menor número que somado a 1 produza resultado diferente de 1, ou seja, que não é arredondado. Esse comando é denominado épsilon de máquina e representa a exatidão relativa da aritmética do computador, a sua existência é uma consequência direta da precisão finita da aritmética de ponto flutuante. O valor também é chamado de unidade de arredondamento ou menor número representável, e é simbolizado pela letra grega épsilon.

Fonte: http://www.mathworks.com/support/?s_tid=gn_supp

Como o arredondamento é o processo de escolha da representação de um número real em um sistema numérico de ponto flutuante. Para um determinado sistema numérico e um procedimento de arredondamento, o épsilon de máquina é o máximo erro relativo do procedimento escolhido.

2.) Avaliar o erro a expressão: ((1 + x) - 1) / x; Para x = {1.e-15, 1.e+15}. Calcule os erros absolutos e relativos. Discuta a diferença nos resultados.

Software: Octave

Substituindo valores na expressão:

>> x = 1.e-15; ((1 + x) - 1) / x

ans =  1.1102

>> x = 1.e+15; ((1 + x) - 1) / x

ans =  1

Erro absoluto:

>> abs(1 - 1.1102)

ans =  0.11020

Erro relativo:

>> abs(1 - 1.1102) / abs(1.11020)

ans =  0.099261

Conceitos: Erro absoluto e erro relativo

Seja x = valor exato de um número e seja x' = valor aproximado do mesmo número, então, tem-se que:

“O erro absoluto é a diferença entre o valor exato de um número x de seu valor aproximado x’: EAx =  x - x’.

Em geral, apenas o valor de x’ é conhecido, e, neste caso, é impossível obter o valor exato do erro absoluto.Oque se faz é obter um limitante superior ou uma estimativa para o módulo do erro absoluto.

[...]

O erro relativo é definido como o erro absoluto dividido pelo valor aproximado:

|ERx| =  |EAx| / |x’| =  |EAx| / |x'|”

Fonte: RUGGIERO, M. A. G. e LOPES, V. L. .R. CÁLCULO NUMÉRICO: Aspectos teóricos e computacionais; 2ª edição. Cap. 1, p. 12 e 13.

Discussão dos resultados:

A diferença entre o valor do erro relativo e o erro absoluto é definida pela ordem de grandeza, sendo a precisão do erro relativo maior do que a do erro absoluto.

 

3.)  Avalie através de um gráfico o valor da função: y = x^7 - 7x^6 + 21x^5 - 35x^4 + 35x^3 - 21x^2 + 7x – 1 em 401 pontos equidistantes no intervalo [1-2*10^-8; 1+2*10^-8]. Discuta.

Software: Scilab

→ t = ((1 +  2 * 10.^-8) - (1 - 2 * 10.^-8)) / 401;

→ x = [1 - 2 * 10.^-8 : t : 1 + 2 * 10.^-8];

→ y = x.^7 - 7*x.^6 + 21*x.^5 - 35*x.^4 + 35*x.^3 - 21*x.^2 + 7*x - 1;

→ plot (x, y)

Discussão dos resultados:

No gráfico acima o número é tão pequeno no eixo das abcissas que se torna desprezível, de forma que todos os valores do eixo das ordenadas podem ser representados em “um único” valor.

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Resolução elaborada pelo Grupo 4, composto pelos alunos Caio Rodrigues da Silva, Carolina Braga do Espirito Santo, Erick Oshiro, Felipe Massao Yamada, Felipe de Milano Friedmann e Ronaldo Gonçalves Dias, devidamente matrículados na disciplina de Cálculo Numérico, turma B, matutino/Santo André, ministrada pela Prof. Dra. Juliana Militão da Silva Berbert.