Utilizando a forma de Lagrange:
X
|
Y
|
-1
|
-32
|
2
|
1
|
4
|
3
|
OBS: Xo=(-1) Yo=(-32)
X1=2 Y1=1
X2=4 Y2=3
Fonte:http://www.icmc.usp.br/~andretta/ensino/aulas/sme0500-1-12/iplagrange.pdf
Assim :
Lo(x)=(x^2-6*x+8)/8
L1(x)=(-x^2+3*x+4)/6
L2(x)=(x^2-x-2)/10
Substituindo Lo(x), L1(x) e L2(x) na equação
P2(x)=Yo*Lo(x)+Y1*L1(x)+Y2*L2(x)
fica:
Portanto o polinômio que estamos procurando é :
P(x) = -2*x^2+13*x-17
Utilizando alguns os dados informados no exercício anterior, pode-se resolver esse polinômio através da resolução de sistema linear.
4. Encontre o polinômio interpolador p da função f(x)=ex em 0, 1/2 e 1. Faça o gráfico de f e de p, no intervalo [-1,2]. Você acha seguro utilizar o polinômio interpolador para prever o comportamento da função fora do intervalo de interpolação (extrapolação)? Aparentemente, em qual ponto do intervalo [0, 1] a aproximação de f pelo polinômio interpolador foi a pior?
Fonte: www1.univap.br/spilling/CN/CN_Capt4.pd
Função dada: f(x)=ex
Tabela com a substituição dos valores:
x
|
0
|
0,5
|
1
|
f(x)
|
e^0 = 1
|
e^0,5 = e
|
e^1 = e
|
Escrevemos primeiro os termos do produtório de j = 0 → n, depois desconsideramos os termos j = k, obtendo os termos:
y0 = 1;
y1 = e;
y2 = √e;
L0 (x) = 2*x^2-x+1;
L0 (x) = -4x^2 + 4*x;
L0 (x) = -2x^2 + x
Dessa forma obtemos a interpolação P2 (x) da função f(x)=ex,
P2(x) = 2*x^2 - x + 1 + √e*(-4x^2 + 4*x) + e*(-2x^2 + x)
Usando o Excel foram construídas as 4 tabelas com base nas funções:
f(x)=ex
P2(x) = 2*x^2-x+1+4*√e*(-x^2+x)+e*(-2x^2+x)
Tabelas de valores iniciais.
Tabela 1
| |
x
|
f(x)
|
0
|
1
|
0,5
|
1,648721
|
1
|
2,718282
|
Tabela 2
| |
x
|
P2(x)
|
0
|
1
|
0,5
|
0
|
1
|
0
|
Tabelas de extrapolação.
Tabela 3
| |
x
|
f(x)
|
0
|
1
|
0,5
|
1,648721
|
1
|
2,718282
|
1,5
|
4,481689
|
2
|
7,389056
|
2,5
|
12,18249
|
3
|
20,08554
|
3,5
|
33,11545
|
4
|
54,59815
|
4,5
|
90,01713
|
5
|
148,4132
|
5,5
|
244,6919
|
6
|
403,4288
|
6,5
|
665,1416
|
7
|
1096,633
|
7,5
|
1808,042
|
8
|
2980,958
|
8,5
|
4914,769
|
9
|
8103,084
|
9,5
|
13359,73
|
10
|
22026,47
|
Tabela 4
x
|
P2(x)
|
0
|
1
|
0,5
|
0
|
1
|
0
|
1,5
|
1
|
2
|
3
|
2,5
|
6
|
3
|
10
|
3,5
|
15
|
4
|
21
|
4,5
|
28
|
5
|
36
|
5,5
|
45
|
6
|
55
|
6,5
|
66
|
7
|
78
|
7,5
|
91
|
8
|
105
|
8,5
|
120
|
9
|
136
|
9,5
|
153
|
10
|
171
|
Você acha seguro utilizar o polinômio interpolador para prever o comportamento da função fora do intervalo de interpolação (extrapolação)?
Não, porque como é perceptível nos gráfico de 4 a 6, o polinômio interpolador não faz uma aproximação eficiente a partir das proximidades do ponto onde x = 4, visto que as duas curvas, f(x) e P2(x), divergem.
Tal comportamento era esperado, com base em suas linhas de tendência que são respectivamente, exponencial e polinomial.
Aparentemente, em qual ponto do intervalo [0, 1] a aproximação de f pelo polinômio interpolador foi a pior?
No intervalo entre [0,1] a aproximação foi aparentemente pior no ponto x = 1, pois como é perceptível no gráfico 3, é nesse ponto em que as funções f(x) e P2(x) tem a maior divergência.
5. Considere a função f(x) = cos(x) e a função g(x) tabelada abaixo.
Estime o ponto x* de interseção destas duas funções.
De acordo com o enunciado, estas duas funções se cruzam em um determinado ponto, ou seja,
f(x*) = g(x*)
Alguns valores da função g(x) foram indicados na tabela acima, com os respectivos x, porém, a função em si não foi informada, portanto, para podermos utiliza-la no cálculo acima, devemos usar polinômios de Lagrange para aproximar o polinômio interpolador P(x) a função original. Ao utilizarmos todos os valores da tabela, o polinimônio irá ter uma alta precisão da função.
O polinômio de Lagrange é dado por
Lk = Q/ R
Sendo
Q = (x - x0)(x – x1)...(x – xk-1)(x – xk+1)...(x – xn)
e
R = (xk – x0)(xk – x1)...(xk – xk-1)(xk – xk+1)...(xk – xn)
O polinômio interpolador é dado por
P(x) = f(x0)L0(x) + ... + f(xn)Ln(x)
Logo, aplicado ao exercício, teremos os seguintes polinômios de Lagrange
L0:
Q0 = (x – 0,5)(x – 1,0)(x – 1,5)(x – 2,0)(x – 2,5)(x – 3,0)
R0 = (-0,5)(-1,0)(-1,5)(-2,0)(-2,5)(3,0)
L1:
Q1 = (x – 0,0)(x – 1,0)(x – 1,5)(x – 2,0)(x – 2,5)(x – 3,0)
R1 = (0,5 – 0)(0,5 – 1,0)(0,5 – 1,5)(0,5 – 2,0)(0,5 – 2,5)(0,5 – 3,0)
L2:
Q2 = (x – 0,0)(x – 0,5)(x – 1,5)(x – 2,0)(x – 2,5)(x – 3,0)
R2 = (1,0 – 0,0)(1,0 – 0,5)(1,0 – 1,5)(1,0 – 2,0)(1,0 – 2,5)(1,0 – 3,0)
L3:
Q3 = (x – 0,0)(x – 0,5)(x – 1,0)(x – 2,0)(x – 2,5)(x – 3,0)
R3 = (1,5 – 0,0)(1,5 – 0,5)(1,5 – 1,0)(1,5 – 2,0)(1,5 – 2,5)(1,5 – 3,0)
L4:
Q4 = (x – 0,0)(x – 0,5)(x – 1,0)(x – 1,5)(x – 2,5)(x – 3,0)
R4 = (2,0 – 0,0)(2,0 – 0,5)(2,0 – 1,0)(2,0 – 1,5)(2,0 – 2,5)(2,0 – 3,0)
L5:
Q5 = (x – 0,0)(x – 0,5)(x – 1,0)(x – 1,5)(x – 2,0)(x – 3,0)
R5 = (2,5 – 0,0)(2,5 – 0,5)(2,5 – 1,0)(2,5 – 1,5)(2,5 – 2,0)(2,5 – 3,0)
L6:
Q6 = (x – 0,0)(x – 0,5)(x – 1,0)(x – 1,5)(x – 2,0)(x – 2,5)
R6 = (3,0 – 0,0)(3,0 – 0,5)(3,0 – 1,0)(3,0 – 1,5)(3,0 – 2,0)(3,0 – 2,5)
Logo
P(x) = -0,850 x L0 + 0,011 x L1 + 0,600 x L2 + 0,990 x L3 + 1,233 x L4 + 1,361 x L5 + 1,400 x L6
O gráfico desse polinômio é
Fonte: BURDEN, R .L. e FAIRES, J. D. ANÁLISE NUMÉRICA; 8a edição. Capítulo 3, páginas 99 - 112.Utilizando a forma de Lagrange:
X
|
Y
|
-1
|
-32
|
2
|
1
|
4
|
3
|
OBS: Xo=(-1) Yo=(-32)
X1=2 Y1=1
X2=4 Y2=3
Fonte:http://www.icmc.usp.br/~andretta/ensino/aulas/sme0500-1-12/iplagrange.pdf
Assim :
Lo(x)=(x^2-6*x+8)/8
L1(x)=(-x^2+3*x+4)/6
L2(x)=(x^2-x-2)/10
Substituindo Lo(x), L1(x) e L2(x) na equação
P2(x)=Yo*Lo(x)+Y1*L1(x)+Y2*L2(x)
fica:
Portanto o polinômio que estamos procurando é :
P(x) = -2*x^2+13*x-17
Utilizando alguns os dados informados no exercício anterior, pode-se resolver esse polinômio através da resolução de sistema linear.
4. Encontre o polinômio interpolador p da função f(x)=ex em 0, 1/2 e 1. Faça o gráfico de f e de p, no intervalo [-1,2]. Você acha seguro utilizar o polinômio interpolador para prever o comportamento da função fora do intervalo de interpolação (extrapolação)? Aparentemente, em qual ponto do intervalo [0, 1] a aproximação de f pelo polinômio interpolador foi a pior?
Fonte: www1.univap.br/spilling/CN/CN_Capt4.pd
Função dada: f(x)=ex
Tabela com a substituição dos valores:
x
|
0
|
0,5
|
1
|
f(x)
|
e^0 = 1
|
e^0,5 = e
|
e^1 = e
|
Escrevemos primeiro os termos do produtório de j = 0 → n, depois desconsideramos os termos j = k, obtendo os termos:
y0 = 1;
y1 = e;
y2 = √e;
L0 (x) = 2*x^2-x+1;
L0 (x) = -4x^2 + 4*x;
L0 (x) = -2x^2 + x
Dessa forma obtemos a interpolação P2 (x) da função f(x)=ex,
P2(x) = 2*x^2 - x + 1 + √e*(-4x^2 + 4*x) + e*(-2x^2 + x)
Usando o Excel foram construídas as 4 tabelas com base nas funções:
f(x)=ex
P2(x) = 2*x^2-x+1+4*√e*(-x^2+x)+e*(-2x^2+x)
Tabelas de valores iniciais.
Tabela 1
| |
x
|
f(x)
|
0
|
1
|
0,5
|
1,648721
|
1
|
2,718282
|
Tabela 2
| |
x
|
P2(x)
|
0
|
1
|
0,5
|
0
|
1
|
0
|
Tabelas de extrapolação.
Tabela 3
| |
x
|
f(x)
|
0
|
1
|
0,5
|
1,648721
|
1
|
2,718282
|
1,5
|
4,481689
|
2
|
7,389056
|
2,5
|
12,18249
|
3
|
20,08554
|
3,5
|
33,11545
|
4
|
54,59815
|
4,5
|
90,01713
|
5
|
148,4132
|
5,5
|
244,6919
|
6
|
403,4288
|
6,5
|
665,1416
|
7
|
1096,633
|
7,5
|
1808,042
|
8
|
2980,958
|
8,5
|
4914,769
|
9
|
8103,084
|
9,5
|
13359,73
|
10
|
22026,47
|
Tabela 4
x
|
P2(x)
|
0
|
1
|
0,5
|
0
|
1
|
0
|
1,5
|
1
|
2
|
3
|
2,5
|
6
|
3
|
10
|
3,5
|
15
|
4
|
21
|
4,5
|
28
|
5
|
36
|
5,5
|
45
|
6
|
55
|
6,5
|
66
|
7
|
78
|
7,5
|
91
|
8
|
105
|
8,5
|
120
|
9
|
136
|
9,5
|
153
|
10
|
171
|
Você acha seguro utilizar o polinômio interpolador para prever o comportamento da função fora do intervalo de interpolação (extrapolação)?
Não, porque como é perceptível nos gráfico de 4 a 6, o polinômio interpolador não faz uma aproximação eficiente a partir das proximidades do ponto onde x = 4, visto que as duas curvas, f(x) e P2(x), divergem.
Tal comportamento era esperado, com base em suas linhas de tendência que são respectivamente, exponencial e polinomial.
Aparentemente, em qual ponto do intervalo [0, 1] a aproximação de f pelo polinômio interpolador foi a pior?
No intervalo entre [0,1] a aproximação foi aparentemente pior no ponto x = 1, pois como é perceptível no gráfico 3, é nesse ponto em que as funções f(x) e P2(x) tem a maior divergência.
5. Considere a função f(x) = cos(x) e a função g(x) tabelada abaixo.
Estime o ponto x* de interseção destas duas funções.
De acordo com o enunciado, estas duas funções se cruzam em um determinado ponto, ou seja,
f(x*) = g(x*)
Alguns valores da função g(x) foram indicados na tabela acima, com os respectivos x, porém, a função em si não foi informada, portanto, para podermos utiliza-la no cálculo acima, devemos usar polinômios de Lagrange para aproximar o polinômio interpolador P(x) a função original. Ao utilizarmos todos os valores da tabela, o polinimônio irá ter uma alta precisão da função.
O polinômio de Lagrange é dado por
Lk = Q/ R
Sendo
Q = (x - x0)(x – x1)...(x – xk-1)(x – xk+1)...(x – xn)
e
R = (xk – x0)(xk – x1)...(xk – xk-1)(xk – xk+1)...(xk – xn)
O polinômio interpolador é dado por
P(x) = f(x0)L0(x) + ... + f(xn)Ln(x)
Logo, aplicado ao exercício, teremos os seguintes polinômios de Lagrange
L0:
Q0 = (x – 0,5)(x – 1,0)(x – 1,5)(x – 2,0)(x – 2,5)(x – 3,0)
R0 = (-0,5)(-1,0)(-1,5)(-2,0)(-2,5)(3,0)
L1:
Q1 = (x – 0,0)(x – 1,0)(x – 1,5)(x – 2,0)(x – 2,5)(x – 3,0)
R1 = (0,5 – 0)(0,5 – 1,0)(0,5 – 1,5)(0,5 – 2,0)(0,5 – 2,5)(0,5 – 3,0)
L2:
Q2 = (x – 0,0)(x – 0,5)(x – 1,5)(x – 2,0)(x – 2,5)(x – 3,0)
R2 = (1,0 – 0,0)(1,0 – 0,5)(1,0 – 1,5)(1,0 – 2,0)(1,0 – 2,5)(1,0 – 3,0)
L3:
Q3 = (x – 0,0)(x – 0,5)(x – 1,0)(x – 2,0)(x – 2,5)(x – 3,0)
R3 = (1,5 – 0,0)(1,5 – 0,5)(1,5 – 1,0)(1,5 – 2,0)(1,5 – 2,5)(1,5 – 3,0)
L4:
Q4 = (x – 0,0)(x – 0,5)(x – 1,0)(x – 1,5)(x – 2,5)(x – 3,0)
R4 = (2,0 – 0,0)(2,0 – 0,5)(2,0 – 1,0)(2,0 – 1,5)(2,0 – 2,5)(2,0 – 3,0)
L5:
Q5 = (x – 0,0)(x – 0,5)(x – 1,0)(x – 1,5)(x – 2,0)(x – 3,0)
R5 = (2,5 – 0,0)(2,5 – 0,5)(2,5 – 1,0)(2,5 – 1,5)(2,5 – 2,0)(2,5 – 3,0)
L6:
Q6 = (x – 0,0)(x – 0,5)(x – 1,0)(x – 1,5)(x – 2,0)(x – 2,5)
R6 = (3,0 – 0,0)(3,0 – 0,5)(3,0 – 1,0)(3,0 – 1,5)(3,0 – 2,0)(3,0 – 2,5)
Logo
P(x) = -0,850 x L0 + 0,011 x L1 + 0,600 x L2 + 0,990 x L3 + 1,233 x L4 + 1,361 x L5 + 1,400 x L6
O gráfico desse polinômio é
Fonte: BURDEN, R .L. e FAIRES, J. D. ANÁLISE NUMÉRICA; 8a edição. Capítulo 3, páginas 99 - 112.
