Regra do Trapézio
A idéia da regra do trapézio é aproximar a função f(x) por um polinômio de ordem 1 (reta). Nessa aproximação a integral da função f(x) pode ser aproximada pela área de 1 trapézio.
Se usarmos a formula de Lagrange para expressar o polinômio interpolador de ordem 1, p1(x), que interpola f(x) nos pontos x0 e x1, teremos:
Fazendo h=(x1 - x0)/n, onde nesse caso n=1 e substituindo os fatores de Lagrange no polinômio podemos reescrevê-lo assim :
Pela aproximação, temos então que integral da função f(x) será escrita por :
Dessa forma a integral de f(x) no intervalo [a,b] pode ser aproximada pela área de um trapézio menos f(x0), base maior f(x1) e altura h.
Estimativas para o erro da regra do trapézio:
Regra ⅓ de Simpson
Na regra do trapézio, a ideia é aproximar a função f(x) por um polinômio de ordem 1 (reta), agora vamos aproximar f(x) por um polinômio interpolador de ordem 2 (parábola), p2(x), que é dado pela formula de Lagrange :
temos ainda que:
Logo,
Assim, o valor numérico da integral calculadora segundo a regra ⅓ de Simpson será:
Estimativa para o erro na regra ⅓ de Simpson:
Fonte: http://www1.univap.br/spilling/CN/CN_Capt6.pdf
- Pela equação da regra dos trapézios:
n = 4 (número de trapézios estipulado pelo exercício)
h = (1 – 0)/4
A ≈ h2 ×[f(0)+f(1)+2×[f(0,25)+f(0,50)+f(0,75)]]
A ≈ (0,25/2) × 0,506417 = 0,063302125
Pela equação da regra de Simpson:
n = 4
h = (1 – 0)/4
A ≈ h3 ×[f(0)+4×f(0,25)+2×f(0,5)+4×f(0,75)+f(1)]
A ≈ (0,25/3) × 0,744103 = 0,062008583
- Pela regra dos trapézios:
n = 5
h = (1,25 – 0)/5
B ≈ h2 ×[f(0)+f(1,25)+2×[f(0,25)+f(0,50)+f(0,75)+f(1)]]
B ≈ (0,25/2) × 0,5293695
B ≈ 0,066171188
Pela regra de Simpson
n = 5
h = (1,25 – 0)/5
B ≈ h3 ×[f(0)+4×f(0,25)+2×f(0,5)+4×f(0,75)+2×f(1) +f(1,25) ]
B ≈ (0,25/3) × 0,7670555
B ≈ 0,063921292
- Erros Absolutos
Regra dos trapézios:
Erro A = |0,063302125 – 0,061988|/0,061988= 0,02119 = 2,119%
Erro B = |0,066171188 – 0,064762|/0,064762= 0,02273 = 2,273%
Regra de Simpson:
Erro A = |0,062008583 – 0,061988|/0,061988= 3,320*10^-4 = 0,033%
Erro B = |0,063921292 – 0,064762|/0,064762= 8,407*10^-4 = 0,084%
Ambas as aproximações possuem erros pequenos, porém utilizando a regra de Simpson, o erro é significativamente menor, e portanto, mais próximo do valor real.
→ A resolução convencional para esse problema consiste em fazer uso do Cálculo Diferencial e Integral:
→ Fórmulas de Newton – Cotes fechadas:
→ Regra 1/3 de Simpson:
Após as operações, necessárias, é possível chegar a fórmula:
Erro na fórmula de Simpson:
Resolução:
Para saber quantos subintervalos serão usados no cálculo da aproximação da integral é preciso calcular o valor de n, a parir da formula do erro:
Is = 2,71 é o valor aproximado, obtido para a integral dada.
Integral através de outra linha de pensamento:
Referências:
RUGGIERO, M. A. G. e LOPES, V. L. .R. CÁLCULO NUMÉRICO: Aspectos teóricos e computacionais; 2ª edição. Cap. 7, p. 295 – 310.
http://www1.univap.br/spilling/CN/CN_Capt6.pdf
