Integração A - Exercícios, resoluções e discussões.

Regra do Trapézio

A idéia da regra do trapézio é aproximar a função f(x) por um polinômio de ordem 1 (reta). Nessa aproximação a integral da função f(x) pode ser aproximada pela área de 1 trapézio.

Se usarmos a formula de Lagrange para expressar o polinômio interpolador de ordem 1, p1(x), que interpola f(x) nos pontos x0 e x1, teremos:

Fazendo h=(x1 - x0)/n, onde nesse caso n=1 e substituindo os fatores de Lagrange no polinômio podemos reescrevê-lo assim :      

                                  

Pela aproximação, temos então que integral da função f(x) será escrita por :

Dessa forma a integral de f(x) no intervalo [a,b] pode ser aproximada pela área de um trapézio menos f(x0), base maior f(x1) e altura h.

                 

Estimativas para o erro da regra do trapézio:

    Regra ⅓ de Simpson

Na regra do trapézio, a ideia é aproximar a função f(x) por um polinômio de ordem 1 (reta), agora vamos aproximar f(x) por um polinômio interpolador de ordem 2 (parábola), p2(x), que é dado pela formula de Lagrange :

temos ainda que:

Logo,

Assim, o valor numérico da integral calculadora segundo a regra ⅓ de Simpson será:

Estimativa para o erro na regra ⅓ de Simpson:

                                                                    Fonte: http://www1.univap.br/spilling/CN/CN_Capt6.pdf

1. Pela equação da regra dos trapézios:

n = 4 (número de trapézios estipulado pelo exercício)

h = (1 – 0)/4

A ≈ h2 ×[f(0)+f(1)+2×[f(0,25)+f(0,50)+f(0,75)]]

A ≈ (0,25/2) × 0,506417 = 0,063302125

Pela equação da regra de Simpson:

n = 4

h = (1 – 0)/4

A ≈ h3 ×[f(0)+4×f(0,25)+2×f(0,5)+4×f(0,75)+f(1)]

A ≈ (0,25/3) × 0,744103 = 0,062008583

2. Pela regra dos trapézios:

n = 5

h = (1,25 – 0)/5

B ≈ h2 ×[f(0)+f(1,25)+2×[f(0,25)+f(0,50)+f(0,75)+f(1)]]

B ≈ (0,25/2) × 0,5293695

B ≈ 0,066171188

Pela regra de Simpson

n = 5

h = (1,25 – 0)/5

B ≈ h3 ×[f(0)+4×f(0,25)+2×f(0,5)+4×f(0,75)+2×f(1) +f(1,25) ]

B ≈ (0,25/3) × 0,7670555

B ≈ 0,063921292

3. Erros Absolutos

Regra dos trapézios:

Erro A = |0,063302125 – 0,061988|/0,061988= 0,02119 = 2,119%

Erro B = |0,066171188 – 0,064762|/0,064762= 0,02273 = 2,273%

Regra de Simpson:

Erro A = |0,062008583 – 0,061988|/0,061988= 3,320*10^-4 = 0,033%

Erro B = |0,063921292 – 0,064762|/0,064762= 8,407*10^-4 = 0,084%

Ambas as aproximações possuem erros pequenos, porém utilizando a regra de Simpson, o erro é significativamente menor, e portanto, mais próximo do valor real.

→ A resolução convencional para esse problema consiste em fazer uso do Cálculo Diferencial e Integral:

→ Fórmulas de Newton – Cotes fechadas:

→ Regra 1/3 de Simpson:

Após as operações, necessárias, é possível chegar a fórmula:

Erro na fórmula de Simpson:

Resolução:

Para saber quantos subintervalos serão usados no cálculo da aproximação da integral é preciso calcular o valor de n, a parir da formula do erro:

Is  = 2,71 é o valor aproximado, obtido para a integral dada.

Integral através de outra linha de pensamento:

Referências:

RUGGIERO, M. A. G. e LOPES, V. L. .R. CÁLCULO NUMÉRICO: Aspectos teóricos e computacionais; 2ª edição. Cap. 7, p. 295 – 310.

http://www1.univap.br/spilling/CN/CN_Capt6.pdf

Ajustamento de Curvas B - Exercícios, resoluções e discussões.

Utilizando a forma de Lagrange:

X	Y
-1	-32
2	1
4	3

OBS:  Xo=(-1)      Yo=(-32)

         X1=2         Y1=1

         X2=4         Y2=3

Fonte:http://www.icmc.usp.br/~andretta/ensino/aulas/sme0500-1-12/iplagrange.pdf

Assim :

Lo(x)=(x^2-6*x+8)/8

L1(x)=(-x^2+3*x+4)/6

L2(x)=(x^2-x-2)/10

Substituindo Lo(x), L1(x) e L2(x) na equação

                                    P2(x)=Yo*Lo(x)+Y1*L1(x)+Y2*L2(x)

fica:

Portanto o polinômio que estamos procurando é :

P(x) = -2*x^2+13*x-17

Utilizando alguns os dados informados no exercício anterior, pode-se resolver esse polinômio através da resolução de sistema linear.

4. Encontre o polinômio interpolador p da função f(x)=ex em 0, 1/2 e 1. Faça o gráfico de f e de p, no intervalo [-1,2]. Você acha seguro utilizar o polinômio interpolador para prever o comportamento da função fora do intervalo de interpolação (extrapolação)? Aparentemente, em qual ponto do intervalo [0, 1] a aproximação de f pelo polinômio interpolador foi a pior?

Fonte: www1.univap.br/spilling/CN/CN_Capt4.pd

Função dada: f(x)=ex

Tabela com a substituição dos valores:

x	0	0,5	1
f(x)	e^0 = 1	e^0,5 = e	e^1 = e

Escrevemos primeiro os termos do produtório de j = 0 → n, depois desconsideramos os termos j = k, obtendo os termos:

y0 = 1;

y1 = e;

y2 = √e;

L0 (x) = 2*x^2-x+1;

L0 (x) = -4x^2 + 4*x;

L0 (x) = -2x^2 + x

Dessa forma obtemos a interpolação P2 (x) da função f(x)=ex,

P2(x) = 2*x^2 - x + 1 + √e*(-4x^2 + 4*x) + e*(-2x^2 + x)

Usando o Excel foram construídas as 4 tabelas com base nas funções:

f(x)=ex

P2(x) = 2*x^2-x+1+4*√e*(-x^2+x)+e*(-2x^2+x)

Tabelas de valores iniciais.

Tabela 1
x	f(x)
0	1
0,5	1,648721
1	2,718282

Tabela 2
x	P2(x)
0	1
0,5	0
1	0

Tabelas de extrapolação.

Tabela 3
x	f(x)
0	1
0,5	1,648721
1	2,718282
1,5	4,481689
2	7,389056
2,5	12,18249
3	20,08554
3,5	33,11545
4	54,59815
4,5	90,01713
5	148,4132
5,5	244,6919
6	403,4288
6,5	665,1416
7	1096,633
7,5	1808,042
8	2980,958
8,5	4914,769
9	8103,084
9,5	13359,73
10	22026,47

Tabela 4

x	P2(x)
0	1
0,5	0
1	0
1,5	1
2	3
2,5	6
3	10
3,5	15
4	21
4,5	28
5	36
5,5	45
6	55
6,5	66
7	78
7,5	91
8	105
8,5	120
9	136
9,5	153
10	171

Você acha seguro utilizar o polinômio interpolador para prever o comportamento da função fora do intervalo de interpolação (extrapolação)?

Não, porque como é perceptível nos gráfico de 4 a 6, o polinômio interpolador não faz uma aproximação eficiente a partir das proximidades do ponto onde x = 4, visto que as duas curvas, f(x) e P2(x), divergem.

Tal comportamento era esperado, com base em suas linhas de tendência que são respectivamente, exponencial e polinomial.

Aparentemente, em qual ponto do intervalo [0, 1] a aproximação de f pelo polinômio interpolador foi a pior?

No intervalo entre [0,1] a aproximação foi aparentemente pior no ponto x = 1, pois como é perceptível no gráfico 3, é nesse ponto em que as funções f(x) e P2(x) tem a maior divergência.

5. Considere a função f(x) = cos(x) e a função g(x) tabelada abaixo.

Estime o ponto x* de interseção destas duas funções.

De acordo com o enunciado, estas duas funções se cruzam em um determinado ponto, ou seja,

f(x*) = g(x*)

Alguns valores da função g(x) foram indicados na tabela acima, com os respectivos x, porém, a função em si não foi informada, portanto, para podermos utiliza-la no cálculo acima, devemos usar polinômios de Lagrange para aproximar o polinômio interpolador P(x) a função original. Ao utilizarmos todos os valores da tabela, o polinimônio irá ter uma alta precisão da função.

O polinômio de Lagrange é dado por

Lk = Q/ R

Sendo

Q = (x - x0)(x – x1)...(x – xk-1)(x – xk+1)...(x – xn)

e

R = (xk – x0)(xk – x1)...(xk – xk-1)(xk – xk+1)...(xk – xn)

O polinômio interpolador é dado por

P(x) = f(x0)L0(x) + ... + f(xn)Ln(x)

Logo, aplicado ao exercício, teremos os seguintes polinômios de Lagrange

L0:

Q0 = (x – 0,5)(x – 1,0)(x – 1,5)(x – 2,0)(x – 2,5)(x – 3,0)

R0 = (-0,5)(-1,0)(-1,5)(-2,0)(-2,5)(3,0)

L1:

Q1 = (x – 0,0)(x – 1,0)(x – 1,5)(x – 2,0)(x – 2,5)(x – 3,0)

R1 = (0,5 – 0)(0,5 – 1,0)(0,5 – 1,5)(0,5 – 2,0)(0,5 – 2,5)(0,5 – 3,0)

L2:

Q2 = (x – 0,0)(x – 0,5)(x – 1,5)(x – 2,0)(x – 2,5)(x – 3,0)

R2 = (1,0 – 0,0)(1,0 – 0,5)(1,0 – 1,5)(1,0 – 2,0)(1,0 – 2,5)(1,0 – 3,0)

L3:

Q3 = (x – 0,0)(x – 0,5)(x – 1,0)(x – 2,0)(x – 2,5)(x – 3,0)

R3 = (1,5 – 0,0)(1,5 – 0,5)(1,5 – 1,0)(1,5 – 2,0)(1,5 – 2,5)(1,5 – 3,0)

L4:

Q4 = (x – 0,0)(x – 0,5)(x – 1,0)(x – 1,5)(x – 2,5)(x – 3,0)

R4 = (2,0 – 0,0)(2,0 – 0,5)(2,0 – 1,0)(2,0 – 1,5)(2,0 – 2,5)(2,0 – 3,0)

L5:

Q5 = (x – 0,0)(x – 0,5)(x – 1,0)(x – 1,5)(x – 2,0)(x – 3,0)

R5 = (2,5 – 0,0)(2,5 – 0,5)(2,5 – 1,0)(2,5 – 1,5)(2,5 – 2,0)(2,5 – 3,0)

L6:

Q6 = (x – 0,0)(x – 0,5)(x – 1,0)(x – 1,5)(x – 2,0)(x – 2,5)

R6 = (3,0 – 0,0)(3,0 – 0,5)(3,0 – 1,0)(3,0 – 1,5)(3,0 – 2,0)(3,0 – 2,5)

Logo

P(x) = -0,850 x L0 + 0,011 x L1 + 0,600 x L2 + 0,990 x L3 + 1,233 x L4 + 1,361 x L5 + 1,400 x L6

O gráfico desse polinômio é

Fonte: BURDEN, R .L. e FAIRES, J. D. ANÁLISE NUMÉRICA; 8a edição. Capítulo 3, páginas 99 - 112.Utilizando a forma de Lagrange:

X	Y
-1	-32
2	1
4	3

OBS:  Xo=(-1)      Yo=(-32)

         X1=2         Y1=1

         X2=4         Y2=3

Fonte:http://www.icmc.usp.br/~andretta/ensino/aulas/sme0500-1-12/iplagrange.pdf

Assim :

Lo(x)=(x^2-6*x+8)/8

L1(x)=(-x^2+3*x+4)/6

L2(x)=(x^2-x-2)/10

Substituindo Lo(x), L1(x) e L2(x) na equação

                                    P2(x)=Yo*Lo(x)+Y1*L1(x)+Y2*L2(x)

fica:

Portanto o polinômio que estamos procurando é :

P(x) = -2*x^2+13*x-17

Utilizando alguns os dados informados no exercício anterior, pode-se resolver esse polinômio através da resolução de sistema linear.

4. Encontre o polinômio interpolador p da função f(x)=ex em 0, 1/2 e 1. Faça o gráfico de f e de p, no intervalo [-1,2]. Você acha seguro utilizar o polinômio interpolador para prever o comportamento da função fora do intervalo de interpolação (extrapolação)? Aparentemente, em qual ponto do intervalo [0, 1] a aproximação de f pelo polinômio interpolador foi a pior?

Fonte: www1.univap.br/spilling/CN/CN_Capt4.pd

Função dada: f(x)=ex

Tabela com a substituição dos valores:

x	0	0,5	1
f(x)	e^0 = 1	e^0,5 = e	e^1 = e

Escrevemos primeiro os termos do produtório de j = 0 → n, depois desconsideramos os termos j = k, obtendo os termos:

y0 = 1;

y1 = e;

y2 = √e;

L0 (x) = 2*x^2-x+1;

L0 (x) = -4x^2 + 4*x;

L0 (x) = -2x^2 + x

Dessa forma obtemos a interpolação P2 (x) da função f(x)=ex,

P2(x) = 2*x^2 - x + 1 + √e*(-4x^2 + 4*x) + e*(-2x^2 + x)

Usando o Excel foram construídas as 4 tabelas com base nas funções:

f(x)=ex

P2(x) = 2*x^2-x+1+4*√e*(-x^2+x)+e*(-2x^2+x)

Tabelas de valores iniciais.

Tabela 1
x	f(x)
0	1
0,5	1,648721
1	2,718282

Tabela 2
x	P2(x)
0	1
0,5	0
1	0

Tabelas de extrapolação.

Tabela 3
x	f(x)
0	1
0,5	1,648721
1	2,718282
1,5	4,481689
2	7,389056
2,5	12,18249
3	20,08554
3,5	33,11545
4	54,59815
4,5	90,01713
5	148,4132
5,5	244,6919
6	403,4288
6,5	665,1416
7	1096,633
7,5	1808,042
8	2980,958
8,5	4914,769
9	8103,084
9,5	13359,73
10	22026,47

Tabela 4

x	P2(x)
0	1
0,5	0
1	0
1,5	1
2	3
2,5	6
3	10
3,5	15
4	21
4,5	28
5	36
5,5	45
6	55
6,5	66
7	78
7,5	91
8	105
8,5	120
9	136
9,5	153
10	171

Você acha seguro utilizar o polinômio interpolador para prever o comportamento da função fora do intervalo de interpolação (extrapolação)?

Não, porque como é perceptível nos gráfico de 4 a 6, o polinômio interpolador não faz uma aproximação eficiente a partir das proximidades do ponto onde x = 4, visto que as duas curvas, f(x) e P2(x), divergem.

Tal comportamento era esperado, com base em suas linhas de tendência que são respectivamente, exponencial e polinomial.

Aparentemente, em qual ponto do intervalo [0, 1] a aproximação de f pelo polinômio interpolador foi a pior?

No intervalo entre [0,1] a aproximação foi aparentemente pior no ponto x = 1, pois como é perceptível no gráfico 3, é nesse ponto em que as funções f(x) e P2(x) tem a maior divergência.

5. Considere a função f(x) = cos(x) e a função g(x) tabelada abaixo.

Estime o ponto x* de interseção destas duas funções.

De acordo com o enunciado, estas duas funções se cruzam em um determinado ponto, ou seja,

f(x*) = g(x*)

Alguns valores da função g(x) foram indicados na tabela acima, com os respectivos x, porém, a função em si não foi informada, portanto, para podermos utiliza-la no cálculo acima, devemos usar polinômios de Lagrange para aproximar o polinômio interpolador P(x) a função original. Ao utilizarmos todos os valores da tabela, o polinimônio irá ter uma alta precisão da função.

O polinômio de Lagrange é dado por

Lk = Q/ R

Sendo

Q = (x - x0)(x – x1)...(x – xk-1)(x – xk+1)...(x – xn)

e

R = (xk – x0)(xk – x1)...(xk – xk-1)(xk – xk+1)...(xk – xn)

O polinômio interpolador é dado por

P(x) = f(x0)L0(x) + ... + f(xn)Ln(x)

Logo, aplicado ao exercício, teremos os seguintes polinômios de Lagrange

L0:

Q0 = (x – 0,5)(x – 1,0)(x – 1,5)(x – 2,0)(x – 2,5)(x – 3,0)

R0 = (-0,5)(-1,0)(-1,5)(-2,0)(-2,5)(3,0)

L1:

Q1 = (x – 0,0)(x – 1,0)(x – 1,5)(x – 2,0)(x – 2,5)(x – 3,0)

R1 = (0,5 – 0)(0,5 – 1,0)(0,5 – 1,5)(0,5 – 2,0)(0,5 – 2,5)(0,5 – 3,0)

L2:

Q2 = (x – 0,0)(x – 0,5)(x – 1,5)(x – 2,0)(x – 2,5)(x – 3,0)

R2 = (1,0 – 0,0)(1,0 – 0,5)(1,0 – 1,5)(1,0 – 2,0)(1,0 – 2,5)(1,0 – 3,0)

L3:

Q3 = (x – 0,0)(x – 0,5)(x – 1,0)(x – 2,0)(x – 2,5)(x – 3,0)

R3 = (1,5 – 0,0)(1,5 – 0,5)(1,5 – 1,0)(1,5 – 2,0)(1,5 – 2,5)(1,5 – 3,0)

L4:

Q4 = (x – 0,0)(x – 0,5)(x – 1,0)(x – 1,5)(x – 2,5)(x – 3,0)

R4 = (2,0 – 0,0)(2,0 – 0,5)(2,0 – 1,0)(2,0 – 1,5)(2,0 – 2,5)(2,0 – 3,0)

L5:

Q5 = (x – 0,0)(x – 0,5)(x – 1,0)(x – 1,5)(x – 2,0)(x – 3,0)

R5 = (2,5 – 0,0)(2,5 – 0,5)(2,5 – 1,0)(2,5 – 1,5)(2,5 – 2,0)(2,5 – 3,0)

L6:

Q6 = (x – 0,0)(x – 0,5)(x – 1,0)(x – 1,5)(x – 2,0)(x – 2,5)

R6 = (3,0 – 0,0)(3,0 – 0,5)(3,0 – 1,0)(3,0 – 1,5)(3,0 – 2,0)(3,0 – 2,5)

Logo

P(x) = -0,850 x L0 + 0,011 x L1 + 0,600 x L2 + 0,990 x L3 + 1,233 x L4 + 1,361 x L5 + 1,400 x L6

O gráfico desse polinômio é

Fonte: BURDEN, R .L. e FAIRES, J. D. ANÁLISE NUMÉRICA; 8a edição. Capítulo 3, páginas 99 - 112.